Уроки информатики.  Системы счисления.         

Двоичная система счисления

Цель урока:

1.      Сформировать у учащихся понятие системы счисления, позиционной и не позиционной системы счисления.

2.      Сформировать у учащихся понятие основания системы счисления.

3.      Сформировать у учащихся понятие об использовании двоичной системы счисления в ЭВМ.

4.      Научить учащихся переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

5.      Научить учащихся переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.

Ход урока:

1.      Организационный момент.

2.      Устная работа (повторение разрядов десятичных чисел).

3.      Введение понятия системы счисления, позиционной непозиционной системы счисления.

4.      Устная работа.

Закрепление понятия системы счисления, позиционной и непозиционной системы счисления.

5.      Системы счисления, используемые в ЭВМ.

Мотивация рассмотрения двоичной системы счисления.

6.      Составление таблицы, показывающей двоичное представление всех цифр десятичной системы счисления.

7.      Алгоритм перевода целых чисел из десятичной в двоичную систему счисления.

8.      Демонстрация решения задачи, связанной с переводом десятичного числа в двоичную систему счисления.

9.      Решение задач, связанных с переводом целых чисел из десятичной в двоичную систему счисления.

10.  Демонстрация алгоритма Евклида.

11.  Решение задач, используя алгоритм Евклида.

12.  Задание на дом.

13.  Тест.

        I.            Организационный момент. (5 мин.)

     II.            Устная работа (повторение разрядов десятичных чисел). (3 мин.)

145 = 1 • 10² + 4 • 10¹ + 5 • 10⁰ = 100 + 40 + 5

4297 = 4 • 10³ + 2 • 10² + 9 • 10¹ + 7 • 10⁰ = 4000 + 200 + 90 + 7

Рассмотрим число 145.

Сколько надо разрядов для записи этого числа?

В каком разряде стоит самая правая цифра (5)?

В каком разряде стоит цифра (4)?

В каком разряде стоит самая левая цифра (1)?

Рассмотрим число 4297.

В каком разряде стоит самая правая цифра (7)?

В каком разряде стоит цифра (9)?

В каком разряде стоит цифра (2)?

В каком разряде стоит самая левая цифра (4)?

   III.            Введение понятия системы счисления, позиционной и непозиционной системы счисления.

(запись в тетрадь под диктовку)

Опред. № 1:

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Количество цифр, используемых в системе счисления для записи чисел, называется ее основанием.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

Опред. № 2:

Непозиционной системой счисления называется система, в которой вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Пример: Римская система счисления.

XXXII (32)

Вес каждой цифры X в любой позиции равен 10.

Опред. № 3:

Позиционной системой счисления называется система, в которой вес каждой цифры измеряется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

В числе 145 вторая цифра – 4 означает число десятков, в числе 4297 цифра 4 означает число тысяч.

Поскольку за основание системы счисления можно принять любое натуральное число, то существует бесчисленное множество позиционных систем счисления.

Система счисления по основанию 2 называется двоичной, 3 – троичной, 4 – четверичной и т.д.

В двоичной системе счисления используются цифры 0,1; в троичной – 0,1,2; в четверичной – 0,1,2,3 и т.д.

Запись чисел в любой из позиционных систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:

a_n-1 • q^n-1 + a_n-2 • q^n-2 + … + a₁ • q¹ + a₀ • q⁰

где q – основание системы счисления

a_i – цифры из системы счисления

n – число разрядов (целых).

        I.            Устная работа. (12 мин.)

Закрепление понятия системы счисления, позиционной и непозиционной системы счисления.

1.      Какая система счисления используется в часах?

2.      Что означает данная запись:

(доска):

768₉ = 7 • 9² + 6 • 9¹ + 8 • 9⁰

2341₅ = 2 • 5³ + 3 • 5² + 4 • 5¹ + 1 • 5⁰

11₁₀ = 1 • 10¹ + 1 • 10⁰

11₃ = 1 • 3¹ + 1 • 3⁰

11₂ = 1 • 2¹ + 1 • 2⁰

3.      Каким будет данное число в двоичной системе счисления?

Сколько у него будет разрядов в двоичной системе счисления?

(доска):

1 • 2⁴ + 0 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 0 • 2⁰ = 10010₂

1 • 2³ + 1 • 2⁰ = 1 • 2³ + 0 • 2² + 0 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 1001₂

4.      Пете 1101 (13) лет, его брат Коля на 11₁ (3) лет младше Пети, а их сестра старше Коли на 1001 (9) лет. Сколько лет сестре? (19).

        I.            Системы счисления, используемые в ЭВМ. Мотивация рассмотрения двоичной системы счисления. (7 мин.)

Люди предпочитают десятичную систему счисления вероятно потому, что с древних времен они считали по пальцам, а пальцев у людей по 10 на руках и ногах.

Десятичная система счисления пришла к нам из Индии.

Но не всегда и везде используют десятичную систему счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Для общения с ЭВМ используют, кроме десятичной двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Какие цифры используют в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной) системе счисления?

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в ЭВМ двоичная система счисления.

В ЭВМ используют двоичную систему, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

1.      Для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток, нет тока; включено, выключено и т.д. Одному из состояний ставится в соответствие 1, другому – 0), а не десять, как в десятичной системе.

2.      Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

3.      Возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

4.      Двоичная арифметика намного проще десятичной.

5.      Двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты.

(записывание в тетради):

Двоичная таблица сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Недостаток двоичной системы – это быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

        I.            Составление таблицы, показывающей двоичное представление всех цифр десятичной системы счисления. (6 мин.)

Для записи цифры десятичного числа требуется 4 разряда. (ученики двоичное число переводят в десятичную систему счисления)

Какой будет последняя цифра четного (нечетного) (десятичного) числа, записанного в двоичной системе счисления? 0 (1)

        I.            Алгоритм перевода целых чисел из десятичной в двоичную систему счисления.

(запись в тетрадь):

При переводе десятичного числа в систему счисления с основанием 2 его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется частное, меньшее 1 (или равное 0).

Число с основанием 2 записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

     II.            Демонстрация решения задачи, связанной с переводом десятичного числа в двоичную систему счисления.

Ученикам предлагается придумать натуральное число (10<n<30), которое затем переводится в двоичную систему счисления (учитель на доске, ученики в тетрадях).

   III.            Решение задач, связанных с переводом целых чисел в двоичную из десятичной системы счисления. (7 мин.)

1.      Перевести число 18 из десятичной системы счисления в двоичную.

18=9•2+0

9=4•2+1

4=2•2+0

2=1•2+0

1=0•2+1 18₁₀=10010₂

2.      Перевести число 36 из десятичной в двоичную систему счисления (используя предыдущий результат.)

36=18•2

36₁₀=100100₂

3.      Перевести число 47 из десятичной в двоичную систему счисления.

47=23•2+1

23=11•2+1

11=5•2+1

5=2•2+1

2=1•2+0

1=0•2+1

47₁₀=101111₂

        I.            Демонстрация алгоритма Евклида. (3 мин.)

     II.            Решение задач, используя алгоритм Евклида. (5 мин.)

   III.            Задание д/з. (3 мин.).